t-SNE(t-distributed stochastic neighbor embedding)是用于降维的一种机器学习算法，是由 Laurens van der Maaten 和 Geoffrey Hinton在08年提出来。此外，t-SNE 是一种非线性降维算法，非常适用于高维数据降维到2维或者3维，进行可视化。

t-SNE是由SNE(Stochastic Neighbor Embedding, SNE; Hinton and Roweis, 2002)发展而来。我们先介绍SNE的基本原理，之后再扩展到t-SNE。最后再看一下t-SNE的实现以及一些优化。

1.SNE

1.1基本原理

SNE是通过仿射(affinitie)变换将数据点映射到概率分布上，主要包括两个步骤：

• SNE构建一个高维对象之间的概率分布，使得相似的对象有更高的概率被选择，而不相似的对象有较低的概率被选择。
• SNE在低维空间里在构建这些点的概率分布，使得这两个概率分布之间尽可能的相似。

我们看到t-SNE模型是非监督的降维，他跟kmeans等不同，他不能通过训练得到一些东西之后再用于其它数据（比如kmeans可以通过训练得到k个点，再用于其它数据集，而t-SNE只能单独的对数据做操作，也就是说他只有fit_transform，而没有fit操作）

1.2 SNE原理推导

SNE是先将欧几里得距离转换为条件概率来表达点与点之间的相似度。具体来说，给定一个N个高维的数据 \(x_1, ... , x_N\)（注意N不是维度）, t-SNE首先是计算概率\(p_{ij}\)，正比于\(x_i\)和\(x_j\)之间的相似度（这种概率是我们自主构建的），即：

\[{p_ {j \mid i} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i -x_j \mid \mid ^2 / (2 \sigma^2_i ))} {\sum_{k \neq i} \exp(- \mid \mid x_i - x_k \mid \mid ^2 / (2 \sigma^2_i))}}\]

这里的有一个参数是\(\sigma_i\)，对于不同的点\(x_i\)取值不一样，后续会讨论如何设置。此外设置\(p_{x \mid x}=0\),因为我们关注的是两两之间的相似度。

那对于低维度下的\(y_i\)，我们可以指定高斯分布为方差为\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，因此它们之间的相似度如下:

\[{q_ {j \mid i} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i -x_j \mid \mid ^2)} {\sum_{k \neq i} \exp(- \mid \mid x_i - x_k \mid \mid ^2)}}\]

同样，设定\(q_{i \mid i} = 0\).

如果降维的效果比较好，局部特征保留完整，那么 \(p_{i \mid j} = q_{i \mid j}\), 因此我们优化两个分布之间的距离-KL散度(Kullback-Leibler divergences)，那么目标函数(cost function)如下:

\[C = \sum_i KL(P_i \mid \mid Q_i) = \sum_i \sum_j p_{j \mid i} \log \frac{p_{j \mid i}}{q_{j \mid i}}\]

这里的\(P_i\)表示了给定点\(x_i\)下，其他所有数据点的条件概率分布。需要注意的是KL散度具有不对称性，在低维映射中不同的距离对应的惩罚权重是不同的，具体来说：距离较远的两个点来表达距离较近的两个点会产生更大的cost，相反，用较近的两个点来表达较远的两个点产生的cost相对较小(注意：类似于回归容易受异常值影响，但效果相反)。即用较小的 \(q_{j \mid i}=0.2\) 来建模较大的 \(p_{j \mid i}=0.8\), cost=\(p \log(\frac{p}{q})\)=1.11,同样用较大的\(q_{j \mid i}=0.8\)来建模较大的\(p_{j \mid i}=0.2\), cost=-0.277, 因此，SNE会倾向于保留数据中的局部特征。

思考:了解了基本思路之后，你会怎么选择\(\sigma\)，固定初始化?

下面我们开始正式的推导SNE。首先不同的点具有不同的\(\sigma_i\)，\(P_i\)的熵(entropy)会随着\(\sigma_i\)的增加而增加。SNE使用困惑度(perplexity)的概念，用二分搜索的方式来寻找一个最佳的\(\sigma\)。其中困惑度指:

\[Perp(P_i) = 2^{H(P_i)}\]

这里的\(H(P_i)\)是\(P_i\)的熵，即:

\[H(P_i) = -\sum_j p_{j \mid i} \log_2 p_{j \mid i}\]

困惑度可以解释为一个点附近的有效近邻点个数。SNE对困惑度的调整比较有鲁棒性，通常选择5-50之间，给定之后，使用二分搜索的方式寻找合适的\(\sigma\)

那么核心问题是如何求解梯度了,目标函数等价于\(\sum \sum - p log(q)\)这个式子与softmax非常的类似，我们知道softmax的目标函数是\(\sum -y \log p\)，对应的梯度是\(y - p\)(注：这里的softmax中y表示label，p表示预估值)。 同样我们可以推导SNE的目标函数中的i在j下的条件概率情况的梯度是\(2(p_{i \mid j}-q_{i \mid j})(y_i-y_j)\)， 同样j在i下的条件概率的梯度是\(2(p_{j \mid i}-q_{j \mid i})(y_i-y_j)\), 最后得到完整的梯度公式如下:

\[\frac{\delta C}{\delta y_i} = 2 \sum_j (p_{j \mid i} - q_{j \mid i} + p_{i \mid j} - q_{i \mid j})(y_i - y_j)\]

在初始化中，可以用较小的\(\sigma\)下的高斯分布来进行初始化。为了加速优化过程和避免陷入局部最优解，梯度中需要使用一个相对较大的动量(momentum)。即参数更新中除了当前的梯度，还要引入之前的梯度累加的指数衰减项，如下:

\[Y^{(t)} = Y^{(t-1)} + \eta \frac{\delta C}{\delta Y} + \alpha(t)(Y^{(t-1)} - Y^{(t-2)})\]

这里的\(Y^{(t)}\)表示迭代t次的解，\(\eta\)表示学习速率,\(\alpha(t)\)表示迭代t次的动量。

此外，在初始优化的阶段，每次迭代中可以引入一些高斯噪声，之后像模拟退火一样逐渐减小该噪声，可以用来避免陷入局部最优解。因此，SNE在选择高斯噪声，以及学习速率，什么时候开始衰减，动量选择等等超参数上，需要跑多次优化才可以。

思考:SNE有哪些不足？ 面对SNE的不足，你会做什么改进？

2.t-SNE

尽管SNE提供了很好的可视化方法，但是他很难优化，而且存在”crowding problem”(拥挤问题)。后续中，Hinton等人又提出了t-SNE的方法。与SNE不同，主要如下:

• 使用对称版的SNE，简化梯度公式
• 低维空间下，使用t分布替代高斯分布表达两点之间的相似度

t-SNE在低维空间下使用更重长尾分布的t分布来避免crowding问题和优化问题。在这里，首先介绍一下对称版的SNE，之后介绍crowding问题，之后再介绍t-SNE。

2.1 Symmetric SNE

优化\(p_{i \mid j}\)和\(q_{i \mid j}\)的KL散度的一种替换思路是，使用联合概率分布来替换条件概率分布，即P是高维空间里各个点的联合概率分布，Q是低维空间下的，目标函数为:

\[C = KL(P \mid \mid Q) = \sum_i \sum_j p_{i,j} \log \frac{p_{ij}}{q_{ij}}\]

这里的\(p_{ii}\),\(q_{ii}\)为0，我们将这种SNE称之为symmetric SNE(对称SNE)，因为他假设了对于任意i,\(p_{ij} = p_{ji}, q_{ij} = q_{ji}\)，因此概率分布可以改写为:

\[p_{ij} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i - x_j \mid \mid ^2 / 2\sigma^2)}{\sum_{k \neq l} \exp(- \mid \mid x_k-x_l \mid \mid ^2 / 2\sigma^2)} \ \ \ \ q_{ij} = \frac{\exp(- \mid \mid y_i - y_j \mid \mid ^2)}{\sum_{k \neq l} \exp(- \mid \mid y_k-y_l \mid \mid ^2)}\]

这种表达方式，使得整体简洁了很多。但是会引入异常值的问题。比如\(x_i\)是异常值，那么\(\mid \mid x_i - x_j \mid \mid ^2\)会很大，对应的所有的j, \(p_{ij}\)都会很小(之前是仅在\(x_i\)下很小)，导致低维映射下的\(y_i\)对cost影响很小。

思考: 对于异常值，你会做什么改进？\(p_i\)表示什么？

为了解决这个问题，我们将联合概率分布定义修正为: \(p_{ij} = \frac{p_{i \mid j} + p_{j \mid i}}{2}\), 这保证了\(\sum_j p_{ij} \gt \frac{1}{2n}\), 使得每个点对于cost都会有一定的贡献。对称SNE的最大优点是梯度计算变得简单了，如下:

\(\frac{\delta C}{\delta y_i} = 4 \sum_j (p_{ij} - q_{ij})(y_i - y_j)\)

实验中，发现对称SNE能够产生和SNE一样好的结果，有时甚至略好一点。

2.2 Crowding问题

拥挤问题就是说各个簇聚集在一起，无法区分。比如有一种情况，高维度数据在降维到10维下，可以有很好的表达，但是降维到两维后无法得到可信映射，比如降维如10维中有11个点之间两两等距离的，在二维下就无法得到可信的映射结果(最多3个点)。
进一步的说明，假设一个以数据点\(x_i\)为中心，半径为r的m维球(三维空间就是球)，其体积是按\(r^m\)增长的，假设数据点是在m维球中均匀分布的，我们来看看其他数据点与\(x_i\)的距离随维度增大而产生的变化。

从上图可以看到，随着维度的增大，大部分数据点都聚集在m维球的表面附近，与点\(x_i\)的距离分布极不均衡。如果直接将这种距离关系保留到低维，就会出现拥挤问题。

怎么解决crowding问题呢？

Cook et al.(2007) 提出一种slight repulsion的方式，在基线概率分布(uniform background)中引入一个较小的混合因子\(\rho\),这样\(q_{ij}\)就永远不会小于\(\frac{2 \rho}{n(n-1)}\) (因为一共了n(n-1)个pairs)，这样在高维空间中比较远的两个点之间的\(q_{ij}\)总是会比\(p_{ij}\)大一点。这种称之为UNI-SNE，效果通常比标准的SNE要好。优化UNI-SNE的方法是先让\(\rho\)为0，使用标准的SNE优化，之后用模拟退火的方法的时候，再慢慢增加\(\rho\).
直接优化UNI-SNE是不行的(即一开始\(\rho\)不为0)，因为距离较远的两个点基本是一样的\(q_{ij}\)(等于基线分布), 即使\(p_{ij}\)很大，一些距离变化很难在\(q_{ij}\)中产生作用。也就是说优化中刚开始距离较远的两个聚类点，后续就无法再把他们拉近了。

2.3 t-SNE

对称SNE实际上在高维度下
另外一种减轻”拥挤问题”的方法：在高维空间下，在高维空间下我们使用高斯分布将距离转换为概率分布，在低维空间下，我们使用更加偏重长尾分布的方式来将距离转换为概率分布，使得高维度下中低等的距离在映射后能够有一个较大的距离。

我们对比一下高斯分布和t分布(如上图,code见probability/distribution.md), t分布受异常值影响更小，拟合结果更为合理，较好的捕获了数据的整体特征。

使用了t分布之后的q变化，如下:

\[q_{ij} = \frac{(1 + \mid \mid y_i -y_j \mid \mid ^2)^{-1}}{\sum_{k \neq l} (1 + \mid \mid y_i -y_j \mid \mid ^2)^{-1}}\]

此外，t分布是无限多个高斯分布的叠加，计算上不是指数的，会方便很多。优化的梯度如下:

\[\frac{\delta C}{\delta y_i} = 4 \sum_j(p_{ij}-q_{ij})(y_i-y_j)(1+ \mid \mid y_i-y_j \mid \mid ^2)^{-1}\]

t-sne的有效性，也可以从上图中看到：横轴表示距离，纵轴表示相似度, 可以看到，对于较大相似度的点，t分布在低维空间中的距离需要稍小一点；而对于低相似度的点，t分布在低维空间中的距离需要更远。这恰好满足了我们的需求，即同一簇内的点(距离较近)聚合的更紧密，不同簇之间的点(距离较远)更加疏远。

总结一下，t-SNE的梯度更新有两大优势：

• 对于不相似的点，用一个较小的距离会产生较大的梯度来让这些点排斥开来。
• 这种排斥又不会无限大(梯度中分母)，避免不相似的点距离太远。

2.4 算法过程

算法详细过程如下：

• Data: \(X = {x_1, ... , x_n}\)
• 计算cost function的参数：困惑度Perp
• 优化参数: 设置迭代次数T， 学习速率\(\eta\), 动量\(\alpha(t)\)
• 目标结果是低维数据表示 \(Y^T = {y_1, ... , y_n}\)
• 开始优化
  • 计算在给定Perp下的条件概率\(p_{j \mid i}\)(参见上面公式)
  • 令 \(p_{ij} = \frac{p_{j \mid i} + p_{i \mid j}}{2n}\)
  • 用 \(N(0, 10^{-4}I)\) 随机初始化 Y
  • 迭代，从 t = 1 到 T， 做如下操作:
    • 计算低维度下的 \(q_{ij}\)(参见上面的公式)
    • 计算梯度（参见上面的公式）
    • 更新 \(Y^{t} = Y^{t-1} + \eta \frac{dC}{dY} + \alpha(t)(Y^{t-1} - Y^{t-2})\)
  • 结束
• 结束

优化过程中可以尝试的两个trick:

• 提前压缩(early compression):开始初始化的时候，各个点要离得近一点。这样小的距离，方便各个聚类中心的移动。可以通过引入L2正则项(距离的平方和)来实现。
• 提前夸大(early exaggeration)：在开始优化阶段，\(p_{ij}\)乘以一个大于1的数进行扩大，来避免因为\(q_{ij}\)太小导致优化太慢的问题。比如前50次迭代，\(p_{ij}\)乘以4

优化的过程动态图如下：

2.5 不足

主要不足有四个:

• 主要用于可视化，很难用于其他目的。比如测试集合降维，因为他没有显式的预估部分，不能在测试集合直接降维；比如降维到10维，因为t分布偏重长尾，1个自由度的t分布很难保存好局部特征，可能需要设置成更高的自由度。
• t-SNE倾向于保存局部特征，对于本征维数(intrinsic dimensionality)本身就很高的数据集，是不可能完整的映射到2-3维的空间
• t-SNE没有唯一最优解，且没有预估部分。如果想要做预估，可以考虑降维之后，再构建一个回归方程之类的模型去做。但是要注意，t-sne中距离本身是没有意义，都是概率分布问题。
• 训练太慢。有很多基于树的算法在t-sne上做一些改进

3.变种

后续有机会补充。

• multiple maps of t-SNE
• parametric t-SNE
• Visualizing Large-scale and High-dimensional Data

4.参考文档

• Maaten, L., & Hinton, G. (2008). Visualizing data using t-SNE. Journal of Machine Learning Research.

5. 代码

文中的插图绘制:

# coding:utf-8import numpy as npfrom numpy.linalg import normfrom matplotlib import pyplot as pltplt.style.use('ggplot')def sne_crowding():    npoints = 1000 # 抽取1000个m维球内均匀分布的点    plt.figure(figsize=(20, 5))    for i, m in enumerate((2, 3, 5, 8)):        # 这里模拟m维球中的均匀分布用到了拒绝采样，        # 即先生成m维立方中的均匀分布，再剔除m维球外部的点        accepts = []        while len(accepts) < 1000:            points = np.random.rand(500, m)            accepts.extend([d for d in norm(points, axis=1)                            if d <= 1.0]) # 拒绝采样        accepts = accepts[:npoints]        ax = plt.subplot(1, 4, i+1)        if i == 0:            ax.set_ylabel('count')        if i == 2:            ax.set_xlabel('distance')        ax.hist(accepts, bins=np.linspace(0., 1., 50))        ax.set_title('m=%s' %m)    plt.savefig("./images/sne_crowding.png")    x = np.linspace(0, 4, 100)    ta = 1 / (1 + np.square(x))    tb = np.sum(ta) - 1    qa = np.exp(-np.square(x))    qb = np.sum(qa) - 1def sne_norm_t_dist_cost():    plt.figure(figsize=(8, 5))    plt.plot(qa/qb, c="b", label="normal-dist")    plt.plot(ta/tb, c="g", label="t-dist")    plt.plot((0, 20), (0.025, 0.025), 'r--')    plt.text(10, 0.022, r'$q_{ij}$')    plt.text(20, 0.026, r'$p_{ij}$')    plt.plot((0, 55), (0.005, 0.005), 'r--')    plt.text(36, 0.003, r'$q_{ij}$')    plt.text(55, 0.007, r'$p_{ij}$')    plt.title("probability of distance")    plt.xlabel("distance")    plt.ylabel("probability")    plt.legend()    plt.savefig("./images/sne_norm_t_dist_cost.png")if __name__ == '__main__':    sne_crowding()    sne_norm_t_dist_cost()

附录一下t-sne的完整代码实现:

# coding utf-8'''代码参考了作者Laurens van der Maaten的开放出的t-sne代码, 并没有用类进行实现,主要是优化了计算的实现'''import numpy as npdef cal_pairwise_dist(x):    '''计算pairwise 距离, x是matrix    (a-b)^2 = a^w + b^2 - 2*a*b    '''    sum_x = np.sum(np.square(x), 1)    dist = np.add(np.add(-2 * np.dot(x, x.T), sum_x).T, sum_x)    return distdef cal_perplexity(dist, idx=0, beta=1.0):    '''计算perplexity, D是距离向量，    idx指dist中自己与自己距离的位置，beta是高斯分布参数    这里的perp仅计算了熵，方便计算    '''    prob = np.exp(-dist * beta)    # 设置自身prob为0    prob[idx] = 0    sum_prob = np.sum(prob)    perp = np.log(sum_prob) + beta * np.sum(dist * prob) / sum_prob    prob /= sum_prob    return perp, probdef seach_prob(x, tol=1e-5, perplexity=30.0):    '''二分搜索寻找beta,并计算pairwise的prob    '''    # 初始化参数    print("Computing pairwise distances...")    (n, d) = x.shape    dist = cal_pairwise_dist(x)    pair_prob = np.zeros((n, n))    beta = np.ones((n, 1))    # 取log，方便后续计算    base_perp = np.log(perplexity)    for i in range(n):        if i % 500 == 0:            print("Computing pair_prob for point %s of %s ..." %(i,n))        betamin = -np.inf        betamax = np.inf        perp, this_prob = cal_perplexity(dist[i], i, beta[i])        # 二分搜索,寻找最佳sigma下的prob        perp_diff = perp - base_perp        tries = 0        while np.abs(perp_diff) > tol and tries < 50:            if perp_diff > 0:                betamin = beta[i].copy()                if betamax == np.inf or betamax == -np.inf:                    beta[i] = beta[i] * 2                else:                    beta[i] = (beta[i] + betamax) / 2            else:                betamax = beta[i].copy()                if betamin == np.inf or betamin == -np.inf:                    beta[i] = beta[i] / 2                else:                    beta[i] = (beta[i] + betamin) / 2            # 更新perb,prob值            perp, this_prob = cal_perplexity(dist[i], i, beta[i])            perp_diff = perp - base_perp            tries = tries + 1        # 记录prob值        pair_prob[i,] = this_prob    print("Mean value of sigma: ", np.mean(np.sqrt(1 / beta)))    return pair_probdef pca(x, no_dims = 50):    ''' PCA算法    使用PCA先进行预降维    '''    print("Preprocessing the data using PCA...")    (n, d) = x.shape    x = x - np.tile(np.mean(x, 0), (n, 1))    l, M = np.linalg.eig(np.dot(x.T, x))    y = np.dot(x, M[:,0:no_dims])    return ydef tsne(x, no_dims=2, initial_dims=50, perplexity=30.0, max_iter=1000):    """Runs t-SNE on the dataset in the NxD array x    to reduce its dimensionality to no_dims dimensions.    The syntaxis of the function is Y = tsne.tsne(x, no_dims, perplexity),    where x is an NxD NumPy array.    """    # Check inputs    if isinstance(no_dims, float):        print("Error: array x should have type float.")        return -1    if round(no_dims) != no_dims:        print("Error: number of dimensions should be an integer.")        return -1    # 初始化参数和变量    x = pca(x, initial_dims).real    (n, d) = x.shape    initial_momentum = 0.5    final_momentum = 0.8    eta = 500    min_gain = 0.01    y = np.random.randn(n, no_dims)    dy = np.zeros((n, no_dims))    iy = np.zeros((n, no_dims))    gains = np.ones((n, no_dims))    # 对称化    P = seach_prob(x, 1e-5, perplexity)    P = P + np.transpose(P)    P = P / np.sum(P)    # early exaggeration    P = P * 4    P = np.maximum(P, 1e-12)    # Run iterations    for iter in range(max_iter):        # Compute pairwise affinities        sum_y = np.sum(np.square(y), 1)        num = 1 / (1 + np.add(np.add(-2 * np.dot(y, y.T), sum_y).T, sum_y))        num[range(n), range(n)] = 0        Q = num / np.sum(num)        Q = np.maximum(Q, 1e-12)        # Compute gradient        PQ = P - Q        for i in range(n):            dy[i,:] = np.sum(np.tile(PQ[:,i] * num[:,i], (no_dims, 1)).T * (y[i,:] - y), 0)        # Perform the update        if iter < 20:            momentum = initial_momentum        else:            momentum = final_momentum        gains = (gains + 0.2) * ((dy > 0) != (iy > 0)) + (gains * 0.8) * ((dy > 0) == (iy > 0))        gains[gains < min_gain] = min_gain        iy = momentum * iy - eta * (gains * dy)        y = y + iy        y = y - np.tile(np.mean(y, 0), (n, 1))        # Compute current value of cost function        if (iter + 1) % 100 == 0:            if iter > 100:                C = np.sum(P * np.log(P / Q))            else:                C = np.sum( P/4 * np.log( P/4 / Q))            print("Iteration ", (iter + 1), ": error is ", C)        # Stop lying about P-values        if iter == 100:            P = P / 4    print("finished training!")    return yif __name__ == "__main__":    # Run Y = tsne.tsne(X, no_dims, perplexity) to perform t-SNE on your dataset.    X = np.loadtxt("mnist2500_X.txt")    labels = np.loadtxt("mnist2500_labels.txt")    Y = tsne(X, 2, 50, 20.0)    from matplotlib import pyplot as plt    plt.scatter(Y[:,0], Y[:,1], 20, labels)    plt.show()